本文为西莫首席技术专家李保来老师（西莫ID：标准答案）原创文章，本期期刊西莫视角栏目收录，并由西莫电子期刊主编hahafu整理发布以飨读者

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上期讲了主极磁场分布不是正弦时产生的磁势高次谐波。本期我们讲另一种谐波电势——齿谐波电势。所谓齿谐波电势就是谐波的次数与每极槽数有着特定关系的谐波电势，根据上期讲的“种瓜得瓜种豆得豆”理论，其实齿谐波电势也是由于主极磁势中存在着齿谐波磁势引起的，只不过这种次数的谐波电势被齿槽给“调制放大”了，为了说清楚齿谐波电势被“调制放大”的机理，我们还是从任意υ次谐波电势的幅值讲起。

1 任意υ次谐波电势的大小

1.1 任意υ次谐波磁势产生的谐波磁场

上一期的(11)式讲到，对于转子主极任意一个υ次谐波磁势所产生的磁场包括三种，现将上期的第(11)式的推导结果重新列出如下：

Bυ=Bυ0•sin(υ•ωt-υ•p•α)+∑Bυk•sin[υ•ωt-(k•Z+υ•p)α]+∑Bυk•sin[υ•ωt+(k•Z-υ•p)α] (1)

式中：Z为定子槽数；p为极对数；ω为转子旋转电角速度；k=1,2,3…；

Bυ0=Fυ•λ0 (2)

Bυk=(1/2)•Fυ•λk (3)

上述⑴式表明，任意一个υ次谐波磁势都会在气隙中产生三种谐波磁场：一是极对数为υ•p、转向与转子相同(顺转)、转速为同步转速的基本谐波磁场，(⑴式中第一项）；二是一系列极对数为k•Z+υ•p(k=1,2,3…)，转速为n1•υ•p/(k•Z+υ•p)的顺转谐波磁场(⑴式中第二项和式）；三是一系列极对数为k•Z-υ•p，转向或顺转或反转、转速为n1•υ•p/(k•Z-υ•p)的谐波磁场(⑴式中第三项和式）。虽然这些谐波磁场的极对数各不相同，转速和转向也各式各样，但却都在定子绕组中感应出相同频率υ•f1的谐波电势。接下来我们就分别对这三种磁场产生的谐波电势进行解析计算，需要说明的是，这里用解析法计算纯粹是为了分析影响谐波电势大小的因素，以便后续讲解削弱谐波电势的机理，实际设计电机时还是建议用有限元进行定量仿真计算。

1.2 基本谐波磁场产生的υ次谐波电势

基本谐波磁场的极对数为υ•p，转速为n1，磁场幅值为Bυ0。感应出的谐波电势频率为υ•f1，谐波电势有效值为：

Eυ0=4.44•υ•f1•Kdpυ•W•Φυ0(4)

Φυ0=(2/π)•Bυ0•τυ0•l (5)

τυ0=π•D/(2υ•p) (6)

式中：Φυ0为基本谐波磁场的每极磁通；τυ0为基本谐波磁场的极距；D为电枢直径；l为铁心长；W为每相串联匝数；Kdpυ为υ次谐波绕组系数。将⑵、⑸、⑹式代入⑷式得：

Eυ0=4.44•υ•f1•Kdpυ•W•(2/π)•Fυ•λ0•π•D•l/(2υ•p)

=4.44•f1•(Kdpυ•W/p)•D•l•Fυ•λ0

=Ke•Kdpυ•Fυ•λ0(7)

式中：Ke=4.44•f1•W•D•l/p，对于已经制造完成的电机，在一定的转速下(f1一定)，Ke为一常数。由⑺式可见，由基本谐波磁场产生的υ次谐波电势与υ次谐波的绕组系数Kdpυ、υ次谐波的磁势幅值Fυ以及气隙平均磁导λ0成正比，要想削弱基本谐波磁场产生的谐波电势，需要从这三个方面入手(后续会详细讲解削弱方法)。

1.3 极对数为k•Z+υ•p的谐波磁场产生的υ次谐波电势

极对数为k•Z+υ•p的谐波磁场转速为n1•υ•p/(k•Z+υ•p)，磁场幅值为Bυk。在绕组中同样感应出频率为υ•f1的谐波电势，谐波电势有效值为：

E′υk=∑【k=1,2,3…】4.44•υ•f1•Kdpυ•W•Φ′υk(8)

Φ′υk=(2/π)•Bυk•τ′υk•l (9)

τ′υk=π•D/[2(k•Z+υ•p)] (10)

式中：Φ′υk为极对数为k•Z+υ•p的谐波磁场的每极磁通；τ′υk为极对数为k•Z+υ•p的谐波磁场的极距。将⑶、⑼、⑽式代入⑻式并整理得：

E′υk=∑【k=1,2,3…】(1/2)•Ke•Kdpυ•Fυ•λk/[k•Z/(υ•p)+1]

=∑【k=1,2,3…】(1/2)•Ke•Kdpυ•Fυ•∑【k=1,2,3…】(λk•(υ•p)/(k•Z+υ•p)

=Ke•Kdpυ•Fυ•∑【k=1,2,3…】λk•ξ1

=Eυ0•∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)•ξ1(11)

式中：

ξ1=(υ•p)/[2•(k•Z+υ•p)] (12)

由(11)式可见，极对数为k•Z+υ•p (k=1,2,3…)的一系列谐波磁场产生的υ次谐波电势有效值，除了与υ次谐波的绕组系数Kdpυ、υ次谐波的磁势幅值Fυ以及k阶气隙磁导λk成正比外，还与一个系数ξ1有关，由(12)式可见，这个系数ξ1＜1，且(λk/λ0)＜1，这就意味着这种极对数为k•Z+υ•p(k=1,2,3…)的一系列谐波磁场产生的谐波电势是在基本谐波磁场产生的感应电势的基础上打了一个(λk/λ0)•ξ1的折扣。

1.4 极对数为k•Z-υ•p的谐波磁场产生的υ次谐波电势

极对数为k•Z-υ•p的谐波磁场转速为n1•υ•p/(k•Z-υ•p)，磁场幅值也为Bυk。在绕组中同样感应出频率为υ•f1的谐波电势，谐波电势有效值为：

E″υk=∑【k=1,2,3…】4.44•υ•f1•Kdpυ•W•Φ″υk(13)

Φ″υk=(2/π)•Bυk•τ″υk•l (14)

τ″υk=π•D/[2(k•Z-υ•p)] (15)

式中：Φ″υk为极对数为k•Z-υ•p的谐波磁场的每极磁通；τ″υk为极对数为k•Z-υ•p的谐波磁场的极距。将⑶、(14)、(15)式代入(13)式得：

E″υk=∑【k=1,2,3…】(1/2)•Ke•Kdpυ•Fυ•λk/[k•Z/(υ•p)-1]

=(1/2)•Ke•Kdpυ•Fυ•∑【k=1,2,3…】λk•(υ•p)/(k•Z-υ•p)

=Ke•Kdpυ•Fυ•∑【k=1,2,3…】λk•ξ2

=Eυ0•∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)•ξ2 (16)

式中：

ξ2=(υ•p)/[2•(k•Z-υ•p)] (17)

由(16)式可见，极对数为k•Z-υ•p (k=1,2,3…)的一系列谐波磁场产生的υ次谐波电势有效值，同样是在基本谐波磁场产生的感应电势的基础上乘以一个系数(λk/λ0)•ξ2。但特别需要注意的是，对比(12)式和(17)式可见，对于任意谐波次数υ，ξ1总是小于1，这意味着对于第二种磁场产生的υ次谐波电势总是在基本谐波磁场产生的谐波电势基础上打个折扣。而ξ2就不同了，由于其分母为2•(k•Z-υ•p)，当k•Z与υ•p很接近时，分母会很小，导致ξ2可能大于1，甚至ξ2远大于1。这就意味着当k•Z与υ•p很接近时，第三种谐波磁场产生的谐波电势不仅不是打个折扣，而是被放大了。后面会详细讲到，齿谐波次数就属于这种情况，也就是说第三种磁场是导致齿谐波被“放大”的主要因素。

综上所述，对于任意υ次谐波磁势，在绕组中产生的υ次谐波电势是上述三种谐波磁场分别产生的υ次谐波电势之和。当然这三种谐波电势还有相位问题，严格地说应该是三种谐波电势的相量和，由于这里我们主要讨论开槽对谐波电势大小的影响，为了简化分析，忽略掉它们的相位因素，近似地认为⑺、(11)、(16)三式之和即为总的谐波电势，即：

Eυ≈Eυ0+E"υk+E"υk

=Eυ0+Eυ0•∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)•ξ1 +Eυ0•∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)•ξ2

=Eυ0•[1+∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)•(ξ1+ξ2)]

=Ke•Kdpυ•Fυ•λ0•[1+∑【k=1,2,3…】(λk/λ0)•(ξ1+ξ2)] (18)

2 齿谐波电势的特点

对同步电机的空载电势进行谐波分析表明，电势的高次谐波中以次数为k•Z/p±1=2kmq±1的谐波较强，式中：Z为定子槽数；p为极对数；m为相数；q为每极每相槽数；k=1,2,3…。特别是整数槽绕组(q为整数)、气隙又比较小时，如果不采取有效措施，这种谐波会非常强，致使电势波形出现严重锯齿形畸变。

这种次数为k•Z/p±1次的齿谐波有两个特点：一是这种谐波的次数与一对极下的槽数Z/p之间具有特定的关系；二是这种谐波的绕组系数正好与基波绕组系数相等。关于第一个特点从谐波次数上很明显可以看出。关于第二个特点证明如下：

先求一阶(k=1时)齿谐波的短距系数：

Kp(2mq±1)

=sin[(2mq±1)•(Y1/τ)•90º]

=sin[180º•Y1±(Y1/τ)•90º]

=±sin[(Y1/τ)•90º]

=±Kp1(19)

一阶(k=1时)的分布系数：

Kd(2mq±1)

=sin[(2mq±1)•(q•α/2)]÷{q•sin[(2mq±1)•(α/2)]}

=sin(180º•q±q•α/2)÷[q•sin(180º±α/2)]

=±sin(q•α/2)÷[q•sin(α/2)]

=±Kd1(20)

以上两式中Y1和τ均用槽数表示。

之所以称这种谐波为齿谐波，是因为定子开槽引起的气隙磁导以齿频呈周期性变化所致。按照以上两式同样的方法，不难推导出所有的k•(Z/p)±1=k•2mq±1次谐波(式中k=1,2,3…)的绕组系数大小都与基波绕组系数大小相等，都具有上述两个特点，因此我们把它们都称为齿谐波。这样，齿谐波的次数为：

υz=k•(Z/p)±1=k•2mq±1 (21)

式中k=1,2,3…等整数。当k=1时，υz=Z/p±1=2mq±1，称为基本齿谐波或一阶齿谐波；k=2时，υz=2•(Z/p)±1=4mq±1，称为二阶齿谐波；余类推。通常对于整数槽绕组，齿谐波的阶次越低，谐波幅值越大。

3 产生齿谐波电势的主要磁场的性质

如前所述，转子主极任意一个υ次谐波磁势所产生的磁场包括式⑴中的三种磁场。对于次数为υ=υz=k•(Z/p)±1的齿谐波磁势，其产生的第一种磁场——基本齿谐波磁场感应的υ次谐波电势Eυ0的计算方法和通常的空间谐波磁场磁场感应的谐波电势计算方法相同，开槽只是对平均磁导λ0略有影响，由⑺式可见，对Eυ0大小的影响不大，不再赘述。这里重点要分析的是后两种谐波磁场感应出的谐波电势，即⑴式中的后两项磁场和式感应的电势。

先将谐波次数υ=υz=k•Z/p±1代入⑴式中的第二项和式中，得：

Bυ′=∑Bυk•sin[υ•ωt-(2k•Z±p)α] (22)

再将谐波次数υ=υz=k•Z/p±1代入⑴式中的第三项和式中，得：

Bυ″=∑Bυk•sin(υωt±pα) (23)

上述两种谐波磁场都会在绕组中感应出频率为υ•f1的高次谐波电势，但对比(22)式和(23)式两种谐波磁场的极对数和转速，不难看出，(22)式所示谐波磁场的极对数为2k•Z±p，转速为n1•υ•p/(2k•Z±p)，极对数很多，但转速很慢，感应出的谐波电势不会很高(因为转速很慢)，因此这个谐波磁场是产生高次谐波电势的次要因素，甚至可以忽略；再看(23)式所示谐波磁场，其极对数为p，转速为±υ•n1，“±”号表示磁场的转向，取“+”号时表示该谐波磁场转向与基波转向相反(反转)，取“-”号时表示该谐波磁场转向与基波转向相同(顺转)。该谐波磁场的极对数与基波磁场极对数相同，但转速却为基波磁场转速的υ倍，转速很高，会在绕组中产生很高的谐波感应电势，这是产生高次谐波电势的最大“元凶”，又由于其谐波次数υ=k•Z/p±1与定子每极槽数有着特定的关系，是由于定子开槽引起的齿磁导谐波磁场，进而产生的非常强的谐波电势，因此将这种次数的谐波电势称为齿谐波电势，k=1时称为一阶齿谐波；k=2时称为一阶齿谐波；k=3时称为一阶齿谐波…余类推。

小结一下，对于次数为υ=k•Z/p±1的谐波磁势，除了和其他谐波电势一样，产生一个同次数、与转子同转速的基本谐波磁场以外，由于定子开槽，还会调制出两种(极对数分别为k•Z±υ•p)的齿磁导谐波磁场。其中基本谐波磁场在绕组中感应出的同次谐波电势计算方法与其它普通的谐波磁场感应出的高次谐波电势计算方法一样，由于基本谐波磁场的转速为同步转速，因此感应出的电势也与其它谐波磁场感应出的谐波电势规律相同，没有什么特别之处，大小只取决于本身谐波磁势的大小和气隙平均磁导大小，次数越高感应电势越小。另外两种极对数为(k•Z±υ•p)的齿磁导谐波磁场中，取“+”时，极对数变为k•Z+υ•p=2k•Z±p，极对数较多，转速为n1•υ•p/(2k•Z±p)，转速较慢，感应出的υ次谐波电势较小，可以忽略；取“-”时，极对数变为p，与主极极对数相同，但转速为±υ•n1，“±”号表示转向不同，转速是转子转速的υ倍，转速很高，感应出的υ次谐波电势极大，这种情况只发生在υ=k•Z/p±1这种特定次数的谐波磁势上，因此称其为齿谐波。

由此可见，每个齿谐波电势都是主要由一个极对数与基波极对数p相等，但转速是基波转速υ倍的旋转磁场产生的。

4 齿谐波电势为什么那么大

以上分析可知，谐波电势是由(18)式中的三种电势组成。对于次数为υz=k•Z/p±1的齿谐波电势，则主要是(18)式中的第三项E″υk最大，我们抓主要矛盾，忽略其它两个磁场产生的齿谐波，只考虑(18)式中第三项，即近似认为齿谐波电势：

Eυz≈E″υk=Ke•Kdpυ•Fυk•λk•ξ2(24)

对齿谐波：

ξ2=(υz•p)/[2•(k•Z-υz•p)]=±(1/2)υz (25)

Kdpυ=Kdp1 (26)

将(25)、(26)式代入(24)式得：

Eυz≈E″υk

=±(1/2)Ke•Kdp1•Fυk•υz•λk

=±(1/2)Ke•Kdp1•F1•λk (27)

式中：对于已经制造完成的电机在一定的转速下(f1一定)，Ke为一常数；F1=Fυk•υz为基波磁势幅值。

由(25)、(26)、(27)式可见，齿谐波电势之所以强大，主要原因有两个：一是因为齿谐波的绕组系数很高，与基波绕组系数相等；二是齿谐波的ξ2很大，相当于齿槽把齿谐波电势“放大”了。

由(27)式可见，各阶齿谐波电势的大小近似与该阶齿磁导谐波的幅值λk成正比，由于阶次越高齿磁导的幅值越小，一阶齿磁导的幅值远大于二阶、三阶的齿磁导幅值，即：λ1＞＞λ2＞＞λ3…，因此一阶齿谐波电势最大，二阶比一阶会小很多，三阶更小…，因此次数为Z/p±1的两个一阶齿谐波电势最大，设计电机时必须采取措施来削弱它。另外由于各阶齿谐波的绕组系数的绝对值都与基波绕组系数相等，因此不能靠减小绕组系数来削弱齿谐波电势，否则基波电势也会等比例削弱。

以上从任意谐波电势入手，分析了齿谐波电势的特点和产生齿谐波电势的主要磁场的性质，进而指出了齿谐波电势之所以强大的原因。本期的讲解中又整出了一大堆令同学们头疼的数学推导公式，如果你嫌烦可以跳过不看，重点记住文中红色突出显示内容即可，不过如果你有时间，还是温馨建议你慢慢消化一下那些公式，对深入理解齿谐波电势有好处。

再次特别强调的是：按照上一期讲的“种瓜得瓜种豆得豆”结论，电势中的齿谐波必然是主极励磁磁势中包含了这种齿谐波次数的谐波磁势引起，只不过经过齿磁导谐波的“调制”，使得这种次数的谐波电势得到了“放大”，因此才在电势中含量较强。如果主极励磁磁势中不包含这种次数的齿谐波磁势，那么电势中也必然不会存在齿谐波电势。因此齿谐波并不是因定子开槽而凭空多出来的谐波，而是首先要有励磁磁势的齿谐波“基因”作为“种子”，齿槽只是专门把它“挑出来”“孕育培养”，让它“长大”。从这个意义上来说，可以说励磁磁势是齿谐波的“粑粑”，而齿槽则是齿谐波的“嫲嫲”。之所以叫“齿谐波”，主要是因为它与齿槽有着千丝万缕的联系：一是它与齿槽“嫲嫲”有特殊的“亲近”关系，特别招“嫲嫲”“待见”；二是它的“基因”里的绕组系数天然与“基波老大”相同，“赢在了起跑线”上，具有很大的“培养价值”，齿槽“嫲嫲”当然就容易选中它，最终把它“溺爱”成了最大的“逆子”！

其实齿谐波的大小还与转子上的阻尼绕组有关，如果阻尼绕组设计不当，会使齿谐波电势更加放大，如果您对李老师的文章还意犹未尽，欢迎5月27日-29日来无锡参加“电机NVH问题的机理及测试仿真”研修班，听西莫首席技术专家通解电机NVH问题机理，教您如何更好地设计电机！

审核编辑：汤梓红